Признаки делимости — это простые правила, которые позволяют быстро определить, делится ли одно натуральное число на другое без остатка. В программе 5–6 класса изучают признаки делимости на 2, 3, 5, 9 и 10, а затем переходят к более сложным числам: 4, 6, 11 и 25. Ниже собраны все признаки делимости чисел, которые необходимо знать школьнику, — с правилами, примерами и объяснениями.
Таблица признаков делимости
Все признаки делимости на одной странице — сохраните таблицу, чтобы всегда иметь её под рукой
| Делитель | Признак делимости | Пример |
|---|---|---|
| 2 | Последняя цифра чётная (0, 2, 4, 6, 8) | 348 → 8 чётная → делится |
| 3 | Сумма цифр делится на 3 | 123 → 1+2+3 = 6 → делится |
| 4 | Две последние цифры образуют число, делящееся на 4 | 732 → 32 ÷ 4 = 8 → делится |
| 5 | Последняя цифра — 0 или 5 | 415 → оканчивается на 5 → делится |
| 6 | Делится одновременно на 2 и на 3 | 132 → чётное, 1+3+2 = 6 → делится |
| 9 | Сумма цифр делится на 9 | 729 → 7+2+9 = 18 → делится |
| 10 | Последняя цифра — 0 | 150 → оканчивается на 0 → делится |
| 11 | Разность сумм цифр на нечётных и чётных местах делится на 11 | 2728 → (2+2)−(7+8) = −11 → делится |
| 25 | Две последние цифры: 00, 25, 50 или 75 | 375 → оканчивается на 75 → делится |
💡 Как пользоваться таблицей
Найдите нужный делитель в левой колонке. Примените правило из средней колонки к вашему числу. Если условие выполняется — число делится без остатка. В правой колонке показан готовый пример для каждого правила.
Признаки делимости по классам
Выберите уровень, который соответствует вашей программе — от начальной школы до олимпиадной математики
🔢
Признаки делимости — 2–3 класс
Знакомство с чётными и нечётными числами. Первые признаки делимости на 2, 5 и 10 — простые правила с наглядными примерами для учеников начальной школы.
Перейти к разделу📝
Признаки делимости — 4 класс
Подготовка к ВПР по математике. Закрепление базовых признаков, изучение правила суммы цифр для делимости на 3 и на 9. Типовые задания.
Перейти к разделу📐
Признаки делимости — 5–6 класс
Полный курс по ФГОС: признаки делимости на 2, 3, 5, 9, 10, а также на 4, 6, 11 и 25. Применение для нахождения НОД и НОК, сокращения дробей.
Читать нижеМетоды проверки делимости
Четыре подхода к определению делимости — от анализа последней цифры до алгоритмов для простых чисел
🔎
Признаки по последним цифрам
Проверяем делимость на степени двойки (2, 4, 8, 16, 32, 64) и пятёрки (5, 25, 125, 625), просто глядя на последние цифры числа.
Изучить метод➕
Признаки по сумме цифр
Классические признаки делимости на 3 и 9 через сумму цифр, а также признак делимости на 11 через знакочередующуюся сумму.
Изучить метод🧩
Признаки по блокам цифр
Разбиваем число на группы по 2, 3 или 4 цифры и проверяем делимость на 7, 11, 13, 37, 73, 101, 137 и 999.
Изучить метод⚡
Линейный алгоритм для простых чисел
Универсальная формула a ± kb для проверки делимости на любое простое число — от 7 до 151. Рекурсивный процесс с пошаговыми примерами.
Изучить метод🔗
Делимость на составное число
Как проверить делимость на 6, 12, 15, 18, 36 и другие составные числа через разложение на взаимно простые множители.
Изучить методОсновные признаки делимости для 5–6 класса
Подробные правила с примерами — семь признаков, которые составляют фундамент всей теории делимости
Признак делимости на 2
2
Правило
Натуральное число делится на 2, если его последняя цифра чётная — то есть равна 0, 2, 4, 6 или 8. Такие числа называют чётными.
Примеры. Число 4 736 оканчивается на 6 — оно чётное и делится на 2. Число 891 оканчивается на 1 — оно нечётное и на 2 не делится. Все числа, оканчивающиеся на 0 (10, 100, 1000), делятся на 2, потому что 0 — это тоже чётная цифра.
Почему это работает. Любое натуральное число можно представить как 10k + a, где a — последняя цифра. Число 10k всегда делится на 2 (так как 10 = 2 × 5). Поэтому делимость всего числа зависит только от последней цифры a.
Признак делимости на 3
3
Правило
Число делится на 3, если сумма всех его цифр делится на 3. Если сумма получилась большой — сложите цифры ещё раз.
Пример. Проверим число 5 823. Сумма цифр: 5 + 8 + 2 + 3 = 18. Число 18 делится на 3, значит, и 5 823 делится на 3. Проверка: 5 823 ÷ 3 = 1 941.
Пример с повторным сложением. Число 987 654: сумма цифр 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 = 39. Сумма всё ещё большая — сложим ещё раз: 3 + 9 = 12, а 1 + 2 = 3. Число 3 делится на 3, следовательно, 987 654 делится на 3.
Почему это работает. В десятичной системе каждая степень десятки при делении на 3 даёт остаток 1: 10 ≡ 1, 100 ≡ 1, 1000 ≡ 1 (mod 3). Поэтому остаток от деления всего числа на 3 равен остатку от деления суммы его цифр на 3.
Признак делимости на 5
5
Правило
Число делится на 5, если его последняя цифра равна 0 или 5.
Примеры. Число 2 745 оканчивается на 5 — делится на 5 (2 745 ÷ 5 = 549). Число 1 230 оканчивается на 0 — делится на 5 (1 230 ÷ 5 = 246). Число 837 оканчивается на 7 — на 5 не делится.
Почему это работает. Основание нашей системы счисления 10 = 2 × 5, поэтому 10k всегда делится и на 2, и на 5. Делимость всего числа на 5 определяется только его последней цифрой.
Признак делимости на 9
9
Правило
Число делится на 9, если сумма всех его цифр делится на 9. Это более строгий аналог признака делимости на 3.
Пример. Число 6 318: сумма цифр 6 + 3 + 1 + 8 = 18. Число 18 делится на 9, значит, 6 318 делится на 9. Проверка: 6 318 ÷ 9 = 702.
Связь с признаком на 3. Если число делится на 9, оно автоматически делится и на 3. Но не наоборот: число 12 делится на 3 (1 + 2 = 3), но не делится на 9.
Признак делимости на 10
10
Правило
Число делится на 10, если его последняя цифра — 0. Это самый простой из всех признаков делимости.
Примеры. Числа 30, 250, 1 000, 47 890 делятся на 10 — все они оканчиваются на 0. Число 105 не делится на 10, хотя и делится на 5.
Связь с другими признаками. Число, которое делится на 10, автоматически делится и на 2, и на 5 (потому что 10 = 2 × 5). Это пример признака делимости на составное число.
Признак делимости на 4
4
Правило
Число делится на 4, если две его последние цифры образуют число, которое делится на 4. Если число оканчивается на два нуля (00), оно тоже делится на 4.
Пример. Число 7 316: смотрим на две последние цифры — 16. Проверяем: 16 ÷ 4 = 4, делится без остатка. Значит, 7 316 делится на 4.
Пример (не делится). Число 5 423: две последние цифры — 23. Проверяем: 23 ÷ 4 = 5 (остаток 3). Значит, 5 423 не делится на 4.
Почему это работает. Число 4 = 2², а 100 = 4 × 25 — делится на 4. Поэтому в любом числе вида 100k + r часть 100k всегда делится на 4, и делимость зависит только от двухзначного «хвоста» r. Подробнее — в разделе «Признаки по последним цифрам».
Признак делимости на 25
25
Правило
Число делится на 25, если оно оканчивается на 00, 25, 50 или 75.
Примеры. Число 4 350 оканчивается на 50 — делится на 25 (4 350 ÷ 25 = 174). Число 1 275 оканчивается на 75 — делится на 25 (1 275 ÷ 25 = 51). Число 890 оканчивается на 90 — на 25 не делится.
Почему это работает. Число 25 = 5², а 100 = 25 × 4 — делится на 25. Как и в случае с признаком на 4, достаточно проверить две последние цифры. Всего существует ровно четыре двузначных «хвоста», делящихся на 25: 00, 25, 50 и 75.
⭐ Признак делимости на 11
В некоторых учебниках для 6 класса также изучается признак делимости на 11 — через знакочередующуюся сумму цифр. Этот признак полезен при работе с НОД и НОК, но встречается в программе не повсеместно. Подробный разбор с примерами — на странице «Признаки по сумме цифр».
💡 Совет для запоминания
Семь основных признаков делятся на три группы: по последней цифре (на 2, 5 и 10), по двум последним цифрам (на 4 и 25) и по сумме цифр (на 3 и 9). Запомните эти три приёма — и вы сможете быстро проверять делимость на самые распространённые числа. Подробнее — в разделах «По последним цифрам» и «По сумме цифр».
Часто задаваемые вопросы
Признак делимости — это правило, которое позволяет быстро определить, делится ли одно натуральное число на другое без остатка, не выполняя самого деления. Например, признак делимости на 2 гласит: число делится на 2, если его последняя цифра чётная.
В 5 классе по программе ФГОС изучают признаки делимости на 2, 3, 5, 9 и 10. Это базовые правила, на которых строится дальнейшее изучение теории делимости: нахождение НОД и НОК, сокращение дробей, работа с пропорциями.
Оба признака используют один и тот же приём — сумму цифр числа. Разница в делителе: для числа 3 сумма цифр должна делиться на 3, для числа 9 — на 9. Признак на 9 «строже»: каждое число, делящееся на 9, автоматически делится и на 3, но не наоборот.